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线性代数的一些思考

大概刷了一下 3Blue1Brown 的线性代数的本质的小视频,想明白了不少东西,B站有官方翻译版

矩阵与一维向量乘积的意义

先写下来,以后再组织语言配图加公式

首先要明白基向量,也就是单位向量的含义,这里不细讲了,一维空间就是[1], 二维空间就是 x:[1,0], y:[0,1], 三维空间就是 x:[1,0,0], y[0,1,0], z[0,0,1], 四维以及更高维的空间同理。

假如我们现在有个 2*2 的向量a和一个 2*1 的列向量b做乘积,应该怎么理解呢?这个时候得引入参考系这个概念了, 首先应该理解 2*2 这个向量是在二维空间内,把左边 2*1 的部分当作新的坐标系的 x轴的基向量,右边 2*1 的部分当作新的空间的 y轴的基向量, 现在来看它的数值,它的数值是相对于标准二维空间的数值,新的空间相当于在标准二维空间上做了线性变换,也就是齐次和可加。

现在来看 2*1 的列向量,它在含义就是在新的空间上的值为b的向量,而它们的乘积就是b向量对应的标准二维空间的位置。

现在来说为什么是以向量a建立空间, 因为在高纬空间内可以表示低维空间,然而在低维空间无法表示高纬空间,和现实一样。 这是矩阵与一维向量乘积的意义。

矩阵乘法和线性变换复合

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